计算机中的数据编码

一、进制及其转化

冯诺依曼计算机体系中，为了在物理上表示方便，采用了二进制编码的形式。由于进制等内容较为简单，中学、大学知识中有均提及，此处不再赘述。本文只讨论纯整数编码

二、原码

原码是最简单的一种编码形式，由1位符号位和n-1位数据位构成。以4位码位为例，第一位是符号位，0表示正数，1表示负数，其余位由于表示该数值的绝对值。
可以用以下数学公式来表示
暂时还没学会lateX，先上个手写的

这是数学上的公式表示，显然不够直观，接下来在数轴（仍然是码位为4的情况）上表示数值与编码的关系。
其中数轴下方是编码（为直观起见，转化成十进制），数轴上方是在计算机中代表的实际数值

可以看到，如果将数轴平分为两部分[0,7]与[8,15]，则左半轴均为正数，右半轴均为负数。这便是原码区分正负数的方法。

三、反码

反码在数学上的定义为：

易从公式中看出，当X的值小于等于0时2的n次方-1实际上就是一串全1的编码，而一串全1的编码按位减去X即为对X按位求非。
由以上可以得出一个反码的更直观定义，即：

当X为正数时X的反码即为它本身，X为负数时X的反码为X的原码的非符号位按位求非。

这便是“反码”中“反”字的来源。

下面是反码在数轴上的分布：

不难发现，反码与原码的区别就是反码在右半轴的分布与原码恰好对称。

在《计算机组成与系统结构[裘雪红]》一书中，对反码有如下描述：

反码通常用来作为由原码求补码或者由补码求原码的中间过渡。

可见，反码在计算机中实际的使用场景应该很少。

四、补码

补码在数学上的定义为：

不难发现，负数与其自身的补码相加后就等于2的n次方，这种关系可以与角度中的互补类比，如30°与150°互补，这便是“补码”中“补”字的来源。
值得一提的是，由于编码位数为n位，所以该编码是mod 2的n次方意义下的，所以负数与其自身补码相加实际上发生了溢出，实际上的值变为了0。
补码也可以有如下的定义：

正数的补码即为其原码本身，负数的补码为其反码+1

补码在数轴上的分布如下图所示

可以看出，补码在右半轴的分布相对于反码右移了一个单位。

1.求补运算

计算机中还存在一中与补码的求法十分相似的运算，称为求补运算，十分容易和“求补码”混淆。其运算过程如下：

将编码按位取反（包括符号位），然后+1

求补运算与“求补码”的区别如下：

• 求补运算将符号位也取反，而“求补码”只需要将数据位取反
• 求补运算对正负数都有效，而整数求补码后仍是它本身
• 任何数求补后都会变成其相反数

求补运算在计算机的数值计算中十分常用

2.补码的特性

• 与原码和反码不同，补码不存在“正零”和“负零”的区别。
• [X-Y]补=[X]补+[-Y]补=[X]补+（[Y]补）求补，这一特性使得补码在计算机的运算中非常常用。

3.变形补码（双符号位补码）

在实际计算中，为了判断加减的结果是否溢出，常常设置两个符号位。若加减结果的两个符号位不相等（01或10），则发生了溢出；如果符号相等，则不发生溢出。

变形补码的实质

不难发现，由于多出来的一位符号位，n位变形补码的数据范围只有补码的一半，将其在数轴上画出后：

从图中可以看出，符号位为01和10的情况在数轴上是存在的，我们或许可以强行将其看成补码，则可以获取其代表的值。但变形补码的意义在于判断计算结果的溢出，所以我们将变形补码的范围压缩到数轴最左边和最右边分别1/4部分，将中间一部分视为“禁区”，当计算结果进入中间时，计算机就抛出“溢出”的计算结果。
可见，变形补码是舍弃一部分数据范围以保证数据没有发生溢出

这也是在《计组》后续的章节中，恢复余数法中间步骤出现了01的符号位而不影响计算的原因

这里的变形补码是中间的计算结果，可以将其看成有效的数值参与下一步计算，但是若结果出现了01或10的符号位，则是不符合规范的，发生了溢出。

四、移码

移码是数值在模2的n次方意义下平移后的结果。如上图数轴所示，想要比较以上三种编码的数值的大小，均无法通过编码来比较。而移码有着“单调”的特点，即随着编码的增大，编码所代表的数值也增大。
移码的定义：2的n次方+X
可以证明，移码与补码之间存在关系：移码和补码的符号位是相反的

移码的使用场景举例

在IEEE754标准中，其指数使用的是移码。不过这里的移码有所不同
，移动的位数是127（单精度）/1023（双精度），这里为什么是127/1023而不是128/1024？很多人可能没有深究这里的原因。
其实原因很简单，IEEE754标准中对尾数要求规格化，即小数点后第一位必须为1，且规定把这个1给省略。这里移码比正常少位移一位，就是考虑到这里的这个1。如果位移128位，尾数的表达就是0.1xxxx，如果位移127位，尾数的表达就是1.xxxxx，这样一来，增大了浮点数可以表达的范围。