抽象代数基础之环、域

顺着上篇博客的内容，本篇博客继续学习抽象代数。内容主要涉及一些比较基础的关于交换环、域的定理。

基本性质

定义：交换环是指有加法和乘法两种二元运算的集合R，满足：

1. R在加法下是阿贝尔群；
2. 乘法运算具有交换性；
3. 乘法运算具有结合性；
4. 乘法运算存在幺元1；
5. 分配性：对每个$a,b,c\in R, a(b+c)=ab+ac$。

如果交换性不成立，则简单地称为环，$n\times n$实数矩阵的集合就是一个环。

定理：如果$R$是一个交换环，

1. 对于每个$a\in R, 0\cdot a=0$（即加法的幺元是乘法的零元）；
2. 如果$1=0$，则$R$由单一元素0组成，此时$R$称为零环；
3. 设$-a$是$a$的加法逆元，则$(-1)(-a)=a$；
4. 对每个$a\in R,(-1)a=-a$；
5. 如果$n\in N$且$n1=0$，则对一切$a\in R,na=0$，其中$na = a+\cdots+a$，是$n$个$a$之和；
6. 二项式定理成立。

定义：称交换环$R$的子集$S$为$R$的子环，如果：

1. $1\in S$；
2. $\forall a,b\in S, a-b\in S$；
3. $\forall a,b\in S, ab\in S$。

为与子群的$H\le G$区分，通常记为$S\sube R$。

第一点限制了乘法幺元的存在；第二点限制$S$是阿贝尔群的子群；第三点限制了封闭性。

定理：交换环的子环也是交换环。

定义：整环是指满足下列条件的交换环：

1. $1\ne 0$；
2. 乘法消去律成立，$\forall a,b,c\in R, ca=cb\rarr a= b$。

第一点限制了这个环不能是零环；第二点是无零因子环的特点。

定义：如果非零元素$a,b\in R$，使得$ab=0$，则称$a$为左零因子，$b$为右零因子，如果一个元素既是左零因子又是右零因子，则称其为零因子。

定义：如果一个交换环没有零因子，就称这个交换环为整环。

整环是对整数集的抽象。

定理：$I_m$是整环当且仅当$m$是素数。

回顾前面的，$I_m$指整数模$m$产生的同余类。

定义：设$a,b$是交换环$R$的元素，如果存在元素$c$使得$b=ca$，则称在$R$中$a$整除$b$，记为$a|b$。

定义：如果在交换环$R$中，元素$u$满足$u|1$，则$u$称为单位；即如果存在$v\in R$使得$uv=1$，称元素$v$为$u$的逆。

这个定义有两个陈述方法，是等价的。

定理：设$R$是整环，$a,b\in R$且非零，则$a|b$且$b|a$当且仅当有某个单位$u\in R$使得$b=ua$。

定理：如果$a$是整数，则$[a]$是$I_m$中的单位当且仅当$a$和$m$互素。

定理：如果$p$是素数，则$I_p$中的每个非零元素都是单位。

定义：如果$R$是非零交换环，则称

$$U(R) = \{R中的一切单位\}$$

为$R$的单位群。

定义：如果$F$是交换环，其中$1\ne 0$且每个非零元素$a$都是单位，则称$F$为域。

定理：每个域都是整环。

回顾前面，整环是无零因子的交换环。这个定理的逆命题不成立，例如$\Z$是整环而不是域。

定理：交换环$I_m$是域当且仅当$m$是素数。

可以看出$I_p$是多有魅力的一个集合了。

定理：如果$R$是整环，则存在包含$R$并把$R$作为子环的域$F$。这个域可以这样选取：

$$F = \{f|\exist a,b\in R, f=ab^{-1}\}$$

这样的域称为分式域，记为$\textrm{Frac}(R)$，且记$[a,b]\in \textrm{Frac}(R)$为$a/b$。

定义：域$K$的子域是$K$的子环$k$，它也是一个域。

多项式

《高等近视代数》这本书对多项式下了一个比较新的定义。

定义：如果R是交换环，则R中的序列$\sigma$是指：

$$\sigma=(s_0,s_1,s_2,\cdots,s_i,\cdots)$$

其中对一切$i\ge 0,s_i\in R$，并称$s_i$为$\sigma$的系数。

定义：如果存在整数$m\ge 0$使得对一切$i\gt m,s_i=0$，即

$$\sigma =(s_0,s_1,\cdots,s_m,0,0,\cdots)$$

也即多项式只有有限个非零系数，则交换环中的序列$\sigma =(s_0,s_1,\cdots,s_m,\cdots)$称为多项式。

定义：如果$\sigma=(s_0,s_1,\cdots,s_n,0,0,\cdots)$是多项式，则存在$s_n\ne0$使得对一切$i\gt n,s_i=0$，称$s_n$为$\sigma$的首项系数，并称$n$为$\sigma$的次数，并记次数$n$为$\deg(\sigma)$。

在一些书中定义$\deg(0)=-\infty$，《高等近世代数》定义多项式0没有次数。

定义：如果$R$是交换环，则系数在$R$中的一切多项式的集合记作$R[x]$，且$R[x]$也是交换环，它包含$R$作为子环。

定理：如果$R$是交换环并设$\sigma,\tau\in R[x]$是非零多项式：

1. 或者$\sigma\tau=0$,或者$\deg(\sigma\tau)\le\deg(\sigma)+\deg(\tau)$；
2. 如果$R$是整环，则$\sigma\tau\ne0$且$\deg(\sigma\tau)=\deg(\sigma)+\deg(\tau)$；
3. 如果$R$是整环，则$R[x]$也是整环。

定义：如果$R$是交换环，则称$R[x]$为$R$上的多项式环。

定理：根据上面的陈述，现在可以将多项式恢复到我们熟悉的记号，即：如果$\sigma =(s_0,s_1,\cdots,s_n,\cdots)$，则：

$$\sigma = s_0 + s_1x+s_2x^2+\cdots+s_nx^n$$

定义：称$s_0$为常数项，$s_n$为首项系数，如果首相系数为1，则称$f(x)$为首一多项式。常数多项式是次数为0的多项式，或零多项式；线性多项式是次数为1的多项式。

定义：两个多项式相等当且仅当两个多项式的次数以及对应的系数相等。

定义：设$k$是域，$k[x]$的分式域记为$k(x)$，称为$k$上的有理函数域。

换种说法，如果$k$是域，则$k(x)$的元素形如$\frac{f(x)}{g(x)}$，其中$f(x),g(x)\in k[x]$，且$g(x)\ne 0$。

域上的多项式是环，而不是域。

定理：如果$p$是素数，则有理函数域$I_p(x)$是包含$I_p$作为子域的无限域。

因式

定理（带余除法）：假定$k$是域，$f(x),g(x)\in k[x]$且$f(x)\ne 0$，则存在唯一的多项式$q(x),r(x)\in k[x]$使得

$$g(x) = q(x)f(x)+r(x)$$

并且或者$r(x)=0$或者$\deg(r)<\deg(f)$。

就像整数环的带余除法一样，$k[x]$这样的环也可以做带余除法的运算。

定义：上述定理中的$q(x),r(x)$分别称为$g(x)$除以$f(x)$的商和余式。

定义：$f(x)$在域$k$中的根是满足$f(a)=0$的元素$a\in k$。

定理：设$f(x)\in k[x]$，其中$k$是域，并设$u\in k$，则存在$q(x)\in k[x]$使得：

$$f(x)=q(x)(x-u)+f(u)$$

可以这么理解这个式子，将$f(x)$的图像下移$f(u)$个单位，那么很显然此时$x=u$是新的多项式$f(x)-f(u)$的根，那么根据因式分解的原理，新的多项式必存在$x-u$这个因式。

定理：如果$f(x)\in k[x]$，其中$k$是域，则$a$是$f(x)$在$k$中的根，当且仅当$x-a$整除$f(x)$。

定理：设$k$是域，且$f(x)\in k[x]$，如果$f(x)$的次数为$n$，则$f(x)$在$k$中至多存在$n$个根。

定理：设$k$是域，如果$f(x),g(x)\in k[x], \deg(f)\le\deg(g)\le n$，且对于$n+1$个元素$a\in k$有$f(a)=g(a)$，则$f(x)=g(x)$。

这个定理引导如何证明两个多项式相等。

定理：如果$k$是域，$G$是乘法群$k^\times$的有限子群，则$G$是循环群。特别地，如果$k$本身有限，则$k^\times$是循环群。

定义：如果$k$是有限域，则循环群$k^\times$的生成元称为$k$的本原元。

定义：如果$f(x),g(x)\in k[x]$，其中$k$是域，则$f(x),g(x)$的公因式是指多项式$c(x)\in k[x]$，满足$c(x)|f(x)$和$c(x)|g(x)$。如果$f(x)$和$g(x)$均不都为0，则定义它们的最大公因式为次数最高的首一多项式，记为$(f,g)$。

最大公因式必须是首一多项式，这使得最大公因式唯一。

如果两个多项式的最大公因式为1，则称它们互素。

定理：如果$f(x),g(x)\in k[x]$，其中$k$是域，则它们的公因式

$$d(x) = s(x)f(x)+t(x)g(x)$$

即两式的公因式是它们的线性组合。

在多项式环上，关于“因”的其他定理也成立，如欧几里得引理、裴蜀定理等。

定义：整环$R$中的元素$p$为不可约的，如果$p$既不是0也不是单位，而且它在$R$中的任一因子分解中$p=uv$中，$u$和$v$必有一个是单位。

不可约的元素不能表达为两个非单位的乘积。

定义：元素$a,b\in R$是相伴的，如果存在单位$u\in R$使得$b=ua$。

定理：如果$k$是域，则多项式$p(x)\in k[x]$是不可约的当且仅当$\deg(p)\ge 1$且在$k[x]$中没有形如$p(x)=g(x)h(x)$的因式分解，其中$\deg(g),\deg(h)\lt n$。

在整环中，并不是所有元素都是单位，而在域中，所有元素都是单位（都可逆），所以这个定理显而易见。

定理：$f(x)\in k[x]$是二次或三次多项式，则$f(x)$在$k[x]$中不可约当且仅当$f(x)$在$k$中没有根。

定理：设$k$是域$K$的子域，从而$k[x]$是$K[x]$的子环，如果$f(x),g(x)\in k[x]$，则它们在$k[x]$中的最大公因式等于它们在$K[x]$中的最大公因式。

这个定理是从多项式环的欧几里得算法得出的意外收获。

定理（唯一分解定理）：如果$k$是与，则每个次数大于等于1的多项式$f(x)\in k[x]$都是非零常数和若干个首一不可约多项式的乘积：

$$f(x) = ap_1(x)p_2(x)\cdots p_m(x)$$

且这个分解是唯一的。

类比整数的基本算术定理。